Publicidad
yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sonra ikinci sayıyı (321) oluşturmak için sağ tarafa 1 adet mavi birlik
boncuk, 2 adet kırmızı onluk boncuk ve 3 adet yeşil yüzlük boncuk aktarırız. Sağ tarafta elde
edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik boncuk, 5 kırmızı onluk boncuk ve 4 yeşil yüzlük boncuk,
yani 456 olacaktır.
Karmaşık: 273 + 564 toplama işlemini yapmak için. Önce ilk sayı (273) oluşturulur: 3 adet mavi
birlik boncuk, 7 adet kırmızı onluk boncuk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk sağa kaydırılır. Sonra
sağ tarafa ikinci sayıyı (564) aktarırız: 4 adet mavi birlik boncuktan sonra 6 adet kırmızı onluk
boncuğa geldiğimizde, 7 taneyi zaten kullandığımız için, yeterli boncuğumuz yok demektir. O
zaman sol tarafta kalan 3 kırmızı boncuğu sağa kaydırarak aynı zamanda 1 adet yeşil yüzlük
boncuğu da sağa kaydırırız. Sadece kalan 3 onluk boncuğu sağ tarafa aktardığımız için tüm
onluk boncukları tekrar sola toplarız ve 3 onluk eksiğimiz kaldığından eksik kalan 3 onluk kırmızı
boncuğu tekrar sağa aktarırız. Son olarak da 5 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa aktarırız. Sağda 7
adet mavi birlik, 3 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük boncuğumuz olduğundan sonuç 837
olacaktır.
ÇIKARMA
Basit: 425 - 213 çıkarma işlemini yapalım. Tüm boncuklar solda iken ilk sayıyı (425) dizmek için 5
adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağa kaydırırız. İkinci sayıyı
(213) birinci sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sağ taraftan 3 adet mavi birlik, 1
adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuğu tekrar sol tarafa kaydırırız. Sonuçta sağ tarafta
2 adet mavi birlik, 1 adet kırmızı onluk ve 2 adet yeşil yüzlük boncuk kaldığından sonuç 212
olacaktır.
Karmaşık: Bu defa 976 - 485 çıkarma işlemini yapalım. Önceki işlemlerde olduğu gibi 6 adet
birlik, 7 adet onluk ve 9 adet yüzlük boncuğu sağa kaydırırız (976). İkinci sayıyı (485) birinci
sayıdan çıkarmak için birlik boncuklardan başlarız. Sol tarafa önce 5 adet mavi birlik boncuğu
kaydırırız. Ardından 8 adet kırmızı onluk boncuk aktarmamız gerekir ama yeterli boncuk
olmadığından mevcut olan 7 onluk boncuğu sol tarafa aktarırız ve aynı anda 9 adet yeşil yüzlük
boncuktan 1 tanesini sol tarafa aktarırız. Sonra tüm onluk kırmızı boncukları sağa kaydırır ve
çıkarma işlemini tamamlamak için bir eksiğimiz olduğundan kırmızı boncuklardan 1 tanesini tekrar
sola aktarırız.
Son olarak elimizde kalan 8 yeşil yüzlük boncuktan (1 tanesini onluk çıkarma işleminde kullandık)
4 adet yüzlük boncuk çıkarınca sağ tarafta 4 adet yüzlük, 9 adet onluk ve 1 adet birlik boncuk
kalacağından sonuç 491 olacaktır.
ÇARPMA
Basit: Örneğin 413 x 2 çarpma işlemini yapmak için diğer işlemlerde olduğu gibi tüm boncukların
başlangıçta sol tarafta olması gerekir. Önce mavi birlik boncuklarla başlarız. Sağ tarafın boş
olması kaydıyla sağ tarafa 2 kez 3 adet mavi birlik boncuk aktarırız. Aynı işlemi onluk boncuklarla
yaparak 2 kez 1 adet kırmızı boncuğu ve sonra 2 kez 4 adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa
aktarırız. Elde edeceğimiz sonuç: 6 adet mavi birlik, 2 adet kırmızı onluk ve 8 adet yeşil yüzlük
boncuk olmak üzere 826 olmalıdır.
Karmaşık: Eğer 74 x 2 çarpma işlemini yapmak istersek önce 2 kez 4 adet mavi birlik boncuğu,
sonra 2 kez 7 adet kırmızı onluk boncuğu sağ tarafa aktarmamız gerekir. Fakat yeterli kırmızı
boncuğumuz olmadığından önce ilk 7 kırmızı boncuğu sonra da kalan 3 kırmızı boncuğu ve 1
adet yeşil yüzlük boncuğu sağ tarafa aktarırız, sonra aynı anda tüm kırmızı onluk boncukları sola
aktarıp eksik kalan 4 adet kırmızı onluk boncuğu tekrar sağ tarafa alırız. Sonuç olarak, sağ tarafta
1 adet yeşil yüzlük, 4 adet kırmızı onluk ve 8 adet mavi birlik boncuk kalır, yani sonuç 148
olacaktır.
(EL)
1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ
Ο άβακας (αριθμητήριο) θεωρείται το παλαιότερο όργανο υπολογισμού και ο πρόδρομος των σ
ύγχρονων ψηφιακών αριθμομηχανών. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί η ακριβής του προέλευση,
αλλά οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι βρισκόταν κάπου στην κεντρική Ασία.
Εξελίχτηκε με διαφορετικό τρόπο σε διάφορες περιοχές του κόσμου και σήμερα υπάρχουν ποικίλα
είδη αριθμητηρίων: το Suan Pan (κινέζικο αριθμητήριο), το soroban (ιαπωνικό αριθμητήριο) το
Stschoty (ρώσικο αριθμητήριο)...
Το αριθμητήριο είναι εύκολα κατανοητό και χρήσιμο για την εκμάθηση υπολογισμών. Το σύστημα
αρίθμησης με βάση τη θέση μας βοηθάει να καταλάβουμε τις πράξεις των φυσικών αριθμών
(προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) καθώς και την τετραγωνική ρίζα και τ
ις δυνάμεις των αριθμών. Το πλεονέκτημα του ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟΥ είναι ότι μας μαθαίνει να σκεφτ
όμαστε και να τεκμηριώνουμε με τη λογική πάνω σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα αναπτ
ύσσοντας έτσι την ικανότητά μας να ψάχνουμε λύσεις γι' αυτά.
Το αριθμητήριο αποτελείται από έναν πίνακα με παράλληλες ράβδους, στις οποίες είναι περασμέν
ες 10 χάντρες που μετακινούνται.
Οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όπως δείχνει η εικόνα 1.
1
Μονάδες
10
Δεκάδες
100
Εκατοντάδες
1.000
Μονάδες Χιλιάδας
10.000
Δεκάδες Χιλιάδας
100.000
Εκατοντάδες Χιλιάδας
1.000.000
Μονάδες Εκατομμυρίου
10.000.000
Δεκάδες Εκατομμυρίου
100.000.000
Εκατοντάδες Εκατομμυρίου
1.000.000.000
Μονάδες Δισεκατομμυρίου
2. ΠΩΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟ
Πριν αρχίσετε να το χρησιμοποιείτε, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται αριστερά.
Για να αρχίσετε να εξοικειώνεστε μαζί του, σας συνιστούμε να τοποθετείτε διάφορους αριθμούς με
τις χάντρες, να βλέπετε διάφορους συνδυασμούς του αριθμητηρίου και να υπολογίζετε τον αριθμό
που εμφανίζεται.
2.A. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 48, μετακινούμε 8 χάντρες από τις μονάδες (πρώτη σειρά, μ
πλε χρώμα) προς τα δεξιά.Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 4 χάντρες
(δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Ο αριθμός αυτός θα απεικονιστεί όπως δείχνει η ει
κόνα 2.A.
2.Β. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 25.961, μετακινούμε 1 χάντρα από τις μονάδες (πρώτη σειρ
ά, μπλε χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις δεκάδες πρέπει να μετακινήσουμε 6 χάντρ
ες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις εκατοντάδες, περνάμε
9 χάντρες (τρίτη σειρά, πράσινο) προς τα δεξιά. Για να σχηματίσουμε τις μονάδες της χιλιάδας, πε
ρνάμε 5 χάντρες (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) προς τα δεξιά, και τέλος, για να σχηματίσουμε τις
δεκάδες της χιλιάδας, περνάμε 2 χάντρες (πέμπτη σειρά, λευκό) προς τα δεξιά. Αυτός ο αριθμός θ
α απεικονιστεί στον άβακα όπως δείχνει η εικόνα 2.B.
2.Γ. Για να σχηματίσουμε τον αριθμό 312.437.650, αρχίζουμε με τις μονάδες (πρώτη σειρά, μπλε
χρώμα), αλλά σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να μετακινήσουμε καμία χάντρα, γι' αυτό περ
νάμε στις δεκάδες και μετακινούμε 5 χάντρες (δεύτερη σειρά, κόκκινο χρώμα) προς τα δεξιά. Για ν
α σχηματίσουμε τις εκατοντάδες (δεύτερη σειρά, πράσινο χρώμα) μετακινούμε 6 χάντρες προς τα
δεξιά. Για τις μονάδες της χιλιάδας (τέταρτη σειρά, κίτρινο χρώμα) μετακινούμε 7 χάντρες προς τα
δεξιά. Για τις δεκάδες της χιλιάδας (πέμπτη σειρά, λευκό χρώμα), περνάμε 3 χάντρες προς τα δεξι
ά. Για τις εκατοντάδες της χιλιάδας (έκτη σειρά, μπλε χρώμα) μετακινούμε 4 χάντρες προς τα αριστ
ερά. Για τις μονάδες του εκατομμυρίου (έβδομη σειρά, κόκκινο χρώμα) περνάμε 2 χάντρες προς τ
α δεξιά. Για τις δεκάδες του εκατομμυρίου (όγδοη σειρά, πράσινο χρώμα) υπάρχει 1, περνάμε μία
μόνο χάντρα προς τα δεξιά. Και τέλος, για τις εκατοντάδες του εκατομμυρίου (ένατη σειρά, κίτρινο
χρώμα), μετακινούμε 3 χάντρες προς τα δεξιά. Στην εικόνα 2.Γ. φαίνεται πώς απεικονίζεται αυτός
ο αριθμός στον άβακα.
Στη συνέχεια προτείνουμε μερικές ασκήσεις για να τις συμπληρώσετε:
* 1: Σχηματίστε με το αριθμητήριο τους παρακάτω αριθμούς: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009,
1692, 4183.
* 2: Γράψτε τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται στην εικόνα 3:
A/ ..............
B/ ..............
Γ/ ..............
Δ/ ..............
E/ ..............
ΣΤ/ ..............
Ζ/ ..............
H/ ..............
Θ/ ..............
* Οι απαντήσεις των ασκήσεων βρίσκονται στο τέλος του εγχειριδίου.
3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗΡΙΟ
Όλες οι πράξεις χωρίζονται σε απλές και σύνθετες.
ΠΡΟΣΘΕΣΗ
Απλή: (εικόνα 4) Αν θέλουμε να προσθέσουμε 135 + 321. Πρώτα πρέπει να τοποθετήσουμε στο α
ριθμητήριο τον πρώτο αριθμό (135), περνάμε δεξιά 5 χάντρες από τις μονάδες (μπλε), 3 χάντρες δ
εκάδων (κόκκινο) και 1 στις εκατοντάδες (πράσινο). Στη συνέχεια σχηματίζουμε τον δεύτερο αριθμ
ό (321), περνάμε 1 μπλε χάντρα δεξιά (μονάδες), 2 κόκκινες χάντρες (δεκάδες) και τέλος 3 πράσιν
ες (εκατοντάδες). Το αποτέλεσμα που εμφανίζεται δεξιά είναι: 6 μπλε χάντρες (μονάδες), 5 κ
όκκινες (δεκάδες) και 4 πράσινες (εκατοντάδες), δηλαδή, 456.
Σύνθετη: Για να προσθέσουμε 273 + 564. Τοποθετούμε τον πρώτο αριθμό (273): 3 χάντρες σε μο
νάδες (μπλε), 7 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντάδες (πράσινες). Συνεχίζουμε προσθέτοντας
δεξιά τον δεύτερο αριθμό (564), 4 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 6 χάντρες σε δεκάδες (κόκκινο), αλ
λά ήδη έχουμε 7, δηλαδή, δεν μας φτάνουν. Τότε πρέπει να περάσουμε στα δεξιά τις 3 χάντρες π
ου μένουν στα αριστερά και ταυτόχρονα να περάσουμε 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο) στα δεξι
ά. Θα έχουμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκάδες αριστερά, αφού περάσαμε μόνο 3 χάντρες δε
κάδων και μας λείπουν ακόμη 3 να περάσουμε, επαναλαμβάνουμε και περνάμε στα δεξιά τις 3 χά
ντρες δεκάδων (κόκκινο) που έλειπαν, τέλος προσθέτουμε 5 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες) στα
δεξιά. Το αποτέλεσμα που θα έχουμε είναι 7 χάντρες σε μονάδες, 3 σε δεκάδες και 8 σε εκατοντάδ
ες, δηλαδή, 837.
ΑΦΑΙΡΕΣΗ
Απλή: Αφαιρούμε 425 - 213. Με όλες τις χάντρες στα αριστερά, περνάμε στα δεξιά τον πρώτο αρι
θμό (425), 5 χάντρες μονάδων (μπλε), 2 δεκάδες (κόκκινο) και 4 εκατοντάδες (πράσινο). Για να α
φαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό (213), αρχίζουμε από τις μονάδες: περνάμε 3 χάντρες από τις μον
άδες (μπλε) από τα δεξιά προς τα αριστερά, στις δεκάδες περνάμε στα αριστερά 1 χάντρα
(κόκκινο) και στις εκατοντάδες μετακινούμε 2 χάντρες (πράσινο) από τα δεξιά προς τα αριστερά. Τ
ο τελικό αποτέλεσμα είναι: 2 χάντρες σε μονάδες (μπλε), 1 σε δεκάδες (κόκκινο) και 2 σε εκατοντά
δες (πράσινο), δηλαδή, 212.
Σύνθετη: Σε αυτή την περίπτωση αφαιρούμε 976 - 485. Όπως στις παραπάνω πράξεις, περνάμε 6
μονάδες, 7 δεκάδες και 9 εκατοντάδες στα δεξιά (976). Για να αφαιρέσουμε τον δεύτερο αριθμό
(485), αρχίζουμε από τις μονάδες. Αφαιρούμε 5 μονάδες (μπλε) και τις περνάμε στα αριστερά, μετ
ά αφαιρούμε τις 8 δεκάδες, αλλά δεν μας φάνουν οι χάντρες, άρα πρέπει να περάσουμε τις 7 που
έχουμε στις δεκάδες στα αριστερά (δεκάδες) και ταυτόχρονα να μετακινήσουμε στα αριστερά 1 απ
ό τις 9 χάντρες από τις εκατοντάδες (πράσινο). Ύστερα περνάμε πάλι όλες τις χάντρες από τις δεκ
άδες (κόκκινο) προς τα δεξιά και μετακινούμε 1 κόκκινη χάντρα (δεκάδες) στα αριστερά γιατί είναι
αυτή που μένει να αφαιρέσουμε.
Τέλος, αφαιρούμε 4 εκατοντάδες (πράσινο) από τις 8 που έχουμε (βγάλαμε 1 στην αφαίρεση των
δεκάδων), μας μένουν 4 στη δεξιά μεριά, το τελικό αποτέλεσμα είναι 4 εκατοντάδες, 1 δεκάδα και
1 μονάδα, δηλαδή, 491.
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
Απλή: Για να πολλαπλασιάσουμε, παραδείγματος χάρη 413 x 2, όπως και στις υπόλοιπες πράξεις
, όλες οι χάντρες πρέπει να βρίσκονται στα αριστερά. Πρώτα δουλεύουμε τις μονάδες (μπλε) έχοντ
ας υπόψη μας ότι η δεξιά πλευρά είναι κενή, και μετακινούμε προς τα δεξιά 3 χάντρες 2 φορές. Το
ίδιο κάνουμε και με τις δεκάδες, φέρνουμε 1 χάντρα δύο φορές και με τις εκατοντάδες φέρνουμε 4
χάντρες (πράσινες) 2 φορές. Το αποτέλεσμα που πρέπει να βγει είναι: 6 χάντρες μονάδων (μπλε),
2 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες εκατοντάδων (πράσινες), δηλαδή, 826.
Σύνθετη: Αν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 74 x 2, αρχίζουμε μετακινώντας στα δεξιά 2 φορές 4
χάντρες μονάδων (μπλε), μετά πολλαπλασιάζουμε τις δεκάδες και περνάμε 2 φορές 7 χάντρες απ
ό τις δεκάδες (κόκκινο), αλλά δεν μας φτάνουν, γι' αυτό περνάμε τις 7 πρώτες στα δεξιά και τις υπ
όλοιπες 3 επίσης, και μετά περνάμε 1 χάντρα από τις εκατοντάδες (πράσινο) και ταυτόχρονα περν
άμε στα αριστερά όλες τις χάντρες από τις δεκάδες (κόκκινο), αφού μένουν ακόμη 4 δεκάδες για ν
α περαστούν, μετακινούμε αυτές τις 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) προς τα δεξιά. Στο τέλος μας μέ
νει 1 χάντρα εκατοντάδων (πράσινο), 4 χάντρες δεκάδων (κόκκινο) και 8 χάντρες μονάδων (μπλε),
δηλαδή, 148.
(RU)
1. ИСТОРИЯ И ОПИСАНИЕ
Счеты считаются самым древним вычислительным устройством. Это нехитрое
приспособление по праву называют предшественником современных электронных
калькуляторов. Трудно сказать, в какой части мира люди впервые использовали счеты,
однако большинство историков полагают, что это была Центральная Азия.
Счеты видоизменялись по-своему в различных регионах мира. В наши дни существуют их
различные варианты. К примеру, это суаньпань (китайские счеты) или соробан (японские
счеты), а также другие. Русские счеты - усовершенствованный аналог римского абака.
Научиться работать со счетами несложно и полезно для обучения расчетам. Их
позиционная система нумерации помогает понять не только суть операций с натуральными
числами (сложение, вычитание, умножение и деление), но также поможет при решении
задач на извлечение квадратного корня или научит работать с потенциальными числами.
Преимущество СЧЕТОВ заключается в том, что они учат нас думать и задействовать
логику при решении любой математической задачи. Именно так развивается способность к
самостоятельному мышлению.
Счеты представляют собой раму с параллельными друг другу спицами, по которым
передвигаются 10 шариков (костяшек).
Эти шарики, в свою очередь, представляют числовые разряды, как показано на
иллюстрации 1.
Единицы
1
Десятки
10
Сотни
100
7
Publicidad
