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2. COME USARE IL PALLOTTOLIERE
Prima di iniziare a usarlo, tutte le palline si devono trovare a sinistra.
Per iniziare ad abituarvisi, si consiglia di sistemare diversi numeri con le palline e di vedere
diverse combinazioni del pallottoliere e di calcolare il numero che appare.
2.A. Per formare il numero 48, si spostano 8 palline delle unità (prima fila, colore blu) a destra.
Per formare le decine dobbiamo spostare 4 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Questo
numero verrà rappresentato come mostrato nell'immagine 2.A.
2.A. Per formare il numero 25.961, si sposta 1 pallina delle unità (prima fila, colore blu) a destra.
Per formare le decine dobbiamo spostare 6 palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per
formare le centinaia sposteremo 9 palline (terza fila, verde) a destra. Per formare le unità del
migliaio sposteremo 5 palline (quarta fila, colore giallo) a destra, e per finire, per formare le
decine del migliaio sposteremo 2 palline (quinta fila, bianco) verso destra. Questa cifra nel
pallottoliere apparirà come mostrato nell'immagine 2.B.
2.C. Per formare il numero 312.437.650 iniziamo dalle unità (prima fila, colore blu) ma in questo
caso non abbiamo nessuna pallina da spostare e quindi passiamo alle decine e spostiamo 5
palline (seconda fila, colore rosso) a destra. Per formare le centinaia (seconda fila, colore verde)
spostiamo 6 palline a destra. Le unità del migliaio (quarta fila, colore giallo) spostiamo 7 palline a
destra. Le decine del migliaio (quinta fila, colore bianco) spostiamo 3 palline a destra. Le
centinaia del migliaio (sesta fila, colore blu) spostiamo 4 palline a sinistra. Le unità del milione
(settima fila, colore rosso) spostiamo 2 palline a destra. Le decine del milione (ottava fila, colore
verde) è 1, sposteremo una sola pallina a destra. E per finire, le centinaia del milione (nona fila,
colore giallo) sposteremo 3 palline a destra. Nell'immagine 2.C. si mostra come viene
rappresentata questa cifra nel pallottoliere.
In seguito proponiamo diversi esercizi da completare:
* 1: Rappresentare con il pallottoliere le seguenti cifre: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692,
4183.
* 2: Scrivere le cifre che sono rappresentate nell'immagine 3:
A/ ..............
B/ ..............
C/ ..............
D/ ..............
E/ ..............
F/ ..............
G/ ..............
H/ ..............
I/ ..............
* Le risposte degli esercizi si trovano alla fine del manuale.
3. OPERAZIONI CON IL PALLOTTOLIERE
Tutte le operazioni possono essere divise in semplici o complesse.
ADDIZIONE
Semplice: (immagine 4) Se vogliamo sommare 135 + 321. In primo luogo si deve sistemare nel
pallottoliere la prima cifra (135), spostiamo a destra 5 palline delle unità (blu), 3 palline delle
decine (rosso) e 1 nelle centinaia (verde). In seguito formiamo la seconda cifra (321), spostiamo
1 pallina blu a destra (unità), 2 palline rosse (decine) e per finire 3 verdi (centinaia). Il risultato
che otteniamo a destra è: 6 palline blu (unità), 5 rosse (decine) e 4 verdi (centinaia), vale a dire,
456.
Complessa: Per sommare 273 + 564. Si sistema la prima cifra (273): 3 palline in unità (blu), 7
nelle decine (rosso) e 2 nelle centinaia (verdi). Continuiamo ad aggiungere a destra la seconda
cifra (564), 4 palline in unità (blu), 6 palline in decine (rosso) ma abbiamo già 7, e quindi non ce
ne sono abbastanza. Allora, dobbiamo spostare a destra le 3 palline che si trovano a sinistra e
allo stesso tempo, spostiamo 1 pallina di centinaia (verde) a destra. Abbiamo di nuovo tutte le
palline delle decine a sinistra, visto che abbiamo spostato solo 3 palline di decine e ci mancano
altre 3 da spostare, ripetiamo e spostiamo a destra le 3 palline di decine (rosso) che mancavano,
per finire aggiungiamo 5 palline di centinaia (verdi) a destra. Il risultato che otterremo è 7 palline
in unità, 3 in decine e 8 in centinaia, vale a dire, 837.
SOTTRAZIONE
Semplice: Sottraiamo 425 - 213. Con tutte le palline a sinistra, spostiamo a destra la prima cifra
(425), 5 palline di unità (blu), 2 decine (rosso) e 4 centinaia (verde). Per sottrarre la seconda cifra
(213), iniziamo dalle unità; spostiamo 3 palline di unità (blu) da destra a sinistra, nelle decine
spostiamo a sinistra 1 pallina (rosso) e nelle centinaia muoviamo 2 palline (verde) da destra a
sinistra. Il risultato finale è: 2 palline in unità (blu), 1 in decine (rosso) e 2 in centinaia (verde),
vale a dire, 212.
Complessa: In questo caso sottraiamo 976 - 485. Come nelle operazioni precedenti, spostiamo 6
unità, 7 decine e 9 centinaia a destra (976). Per sottrarre la seconda cifra (485) iniziamo dalle
unità. Togliamo 5 unità (blu) e le spostiamo a sinistra, dopo sottraiamo le 8 decine, ma non
abbiamo abbastanza palline, quindi, dobbiamo spostare le 7 che abbiamo nelle decine a sinistra
(decine) e allo stesso tempo spostiamo a sinistra 1 delle 9 palline delle centinaia (verde). In
seguito spostiamo di nuovo tutte le palline delle decine (rosso) a destra e spostiamo 1 pallina
rossa (decina) a sinistra perché è quella che deve ancora essere sottratta.
Per finire sottraiamo 4 centinaia (verde) dalle 8 che abbiamo (abbiamo tolto 1 nella sottrazione
delle decine), ci rimangono 4 nella parte destra, il risultato finale è 4 centinaia, 1 decina e 1 unità,
vale a dire, 491.
MOLTIPLICAZIONE
Semplice: Per moltiplicare, per esempio 413 x 2, come il resto delle operazioni, tutte le palline
devono trovarsi a sinistra. In primo luogo lavoriamo le unità (blu), tenendo conto che il lato destro
è vuoto, e spostiamo a destra 3 palline 2 volte. Facciamo lo stesso con le decine spostiamo 1
pallina due volte e con le centinaia spostiamo 4 palline (verdi) 2 volte. Il risultato che dobbiamo
ottenere è: 6 palline di unità (blu), 2 palline di decine (rosso) e 8 palline di centinaia (verdi), vale a
dire, 826.
Complessa: Se vogliamo moltiplicare 74 x 2, iniziamo spostando a destra 2 volte 4 palline di unità
(blu), in seguito moltiplichiamo le decine e spostiamo 2 volte 7 palline delle decine (rosso), ma
non ne abbiamo abbastanza, e quindi spostiamo le prime 7 a destra e le restanti 3 anche, quindi
spostiamo 1 pallina delle centinaia (verde) e allo stesso tempo, spostiamo a sinistra tutte le
palline delle decine (rosso), visto che mancano 4 decine da spostare, spostiamo queste 4 palline
di decine (rosso) a destra. Alla fine ci resterà 1 pallina di centinaia (verde), 4 palline di decine
(rosso) e 8 palline di unità (blu), vale a dire, 148.
(PT)
1. HISTÓRIA E DESCRIÇÃO
O ábaco é considerado o instrumento de cálculo mais antigo do mundo, e o precursor das
calculadoras digitais modernas. A sua origem exata é difícil de determinar, mas a maioria dos
historiadores pensa que se situaria na Ásia central.
O ábaco foi evoluindo de maneira diferente em diferentes zonas do mundo, e hoje em dia
existem vários tipos de ábaco: o Suan Pan (ábaco chinês), o soroban (ábaco japonês) o
Stschoty (ábaco russo)...
O ábaco é muito fácil de entender e é de grande utilidade para aprender a calcular. O seu
sistema posicional de numeração ajuda a compreender as operações com números naturais
(somas, subtrações, multiplicações e divisões), e mesmo a raiz quadrada e números potenciais.
O ÁBACO ensina-nos a pensar e a raciocinar logicamente sobre qualquer problema matemático,
desenvolvendo assim a capacidade de pensar em soluções para os mesmos.
O ábaco está formado por un marco com barras paralelas, nas quais se deslizam 10 esferas.
A imagem 1 representa um ábaco.
1
Unidades
10
Dezenas
100
Centenas
1.000
Unidades de Milhar
10.000
Dezenas de Milhar
100.000
Centenas de Milhar
1.000.000
Unidades de Milhão
10.000.000
Dezenas de Milhão
100.000.000
Centenas de Milhão
1.000.000.000
Unidades de Bilião
2. COMO UTILIZAR O ÁBACO
Antes de começar a utilizar o ábaco, todas as esferas devem estar situadas à esquerda.
Para começar a familiarizar-se com ele, é recomendável formar diferentes números com as
esferas, e ver diversas combinações do ábaco e calcular o número que aparece.
2.A. Para formar o número 48, deslocamos 8 esferas das unidades (primeira fila, de cor azul)
para a direita. Para formar as dezenas deslocamos 4 esferas (segunda fila, de cor vermelha)
para a direita. Este número ficará representado como se indica na imagem 2.A.
2.B. Para formar o número 25.961, deslocamos 1 esfera das unidades (primeira fila, de cor azul)
para a direita. Para formar as dezenas, deslocamos 6 esferas (segunda fila, de cor vermelha)
para a direita. Para formar as centenas, deslocamos 9 esferas (terceira fila, de cor verde) para a
direita. Para formar as unidades de milhar deslocamos 5 esferas (quarta fila, de cor amarela)
para direita, e por último, para formar as dezenas de milhar, deslocamos 2 esferas (quinta fila, de
cor branca) para a direita. Esta cifra no ábaco ficará como se indica na imagem 2.B.
2.C. Para formar o número 312.437.650 começamos com as unidades (primeira fila, de cor azul),
mas nesta ocasião não temos nenhuma esfera para mover, e por isso passamos para as
dezenas e deslocamos 5 esferas (segunda fila, de cor vermelha) para a direita. Para formar as
centenas (segunda fila, de cor verde), deslocamos 6 esferas para a direita. Para as unidades de
milhar (quarta fila, de cor amarela), deslocamos 7 esferas para a direita. Para as dezenas de
milhar (quinta fila, de cor branca), deslocamos 3 esferas para a direita. Para as centenas de
milhar (sexta fila, de cor azul), deslocamos 4 para a esquerda. Para as unidades de milhão
(sétima fila, de cor vermelha) deslocamos 2 esferas para a direita. Para as dezenas de milhão
(oitava fila, de cor verde) ou seja, 1, deslocamos uma esfera para a direita. E finalmente, para as
centenas de milhão (nona fila, de cor amarela) deslocamos 3 esferas para a direita. A imagem
2.C indica como esta cifra ficaria representada no ábaco.
A seguir propomos alguns exercícios para completar:
* 1: Representar com o ábaco as seguintes cifras: 46, 98, 191, 205, 539, 987, 1009, 1692, 4183.
* 2: Escrever as cifras que estão representadas na imagem 3:
A/ ..............
B/ ..............
C/ ..............
D/ ..............
E/ ..............
F/ ..............
G/ ..............
H/ ..............
I/ ..............
* As respostas dos exercícios encontram-se no final do manual.
3. OPERAÇÕES COM O ÁBACO
Todas as operações podem dividir-se em simples ou complexas.
SOMA
Simples: (imagem 4) Se queremos somar 135+321. Primeiro colocamos no ábaco a primeira
cifra (135), e depois passamos para a direita 5 esferas das unidades (azul), 3 esferas das
dezenas (vermelho) e 1 das centenas (verde). A seguir passamos a formar a segunda cifra
(321), passando para a direita 1 esfera azul (unidades), 2 esferas vermelhas (dezenas), e
finalmente 3 esferas verdes (centenas). Agora à direita teremos o seguinte resultado: 6 esferas
azuis (unidades), 5 esferas vermelhas (dezenas) e 4 esferas verdes (centenas), ou seja, 456.
Complexa: Para somar 273 +564, colocamos a primeira cifra (273): 3 esferas nas unidades
(azuis), 7 esferas nas dezenas (vermelhas) e 2 esferas nas centenas (verdes). Continuamos
acrescentando à direita a segunda cifra (564), ou seja, 4 esferas nas unidades (azuis), 6 nas
dezenas (vermelho), mas como queremos formar o número 7 não dispomos de esferas
suficientes. Neste caso devemos passar para a direita as 3 esferas da esquerda, e ao mesmo
tempo passamos 1 esfera das centenas (verde) para a direita. Agora temos novamente todas as
esferas das dezenas à esquerda, e como apenas passamos 3 esferas das dezenas e nos faltam
outras 3 por passar, voltamos a repetir a operação e passamos para a direita as 3 esferas das
dezenas (vermelho) que faltavam, e finalmente passamos 5 esferas das centenas (verdes) para
a direita. O resultado que nos aparecerá é de 7 esferas nas unidades, 3 nas dezenas e 8 nas
centenas, ou seja, 837.
SUBTRAÇÃO
Simples: Subtrair 425 - 213. Com todas as esferas situadas à esquerda, passamos para a direita
a primeira cifra (425), ou seja, 5 esferas das unidades (azul), 2 das dezenas (vermelho) e 4 das
centenas (verde). Para subtrair a segunda cifra (213), começamos pelas unidades; passamos 3
esferas das unidades (azul) da direita para a esquerda, nas dezenas passamos para a esquerda
1 esfera (vermelho), e nas centenas deslocamos 2 esferas (verde) da direita para a esquerda. O
resultado final será: 2 esferas nas unidades (azul), 1 nas dezenas (vermelho) e 2 nas centenas
(verde), ou seja, 212.
Complexa: Agora vamos subtrair 976 - 485. Como nas operações anteriores, passamos 6
unidades, 7 dezenas e 9 centenas para a direita (976). Para subtrair a segunda cifra (485)
começamos pelas unidades. Pasamos 5 unidades (azuis) para a esquerda, depois subtraímos
as 8 dezenas, mas como não temos suficientes esferas, devemos passar as 7 que temos nas
dezenas para a esquerda (dezenas), e ao mesmo tempo deslocamos para a esquerda 1 das 9
esferas das centenas (verde). Depois voltamos a passar todas as esferas das dezenas
(vermelho) para a direita, e 1 esfera vermelha (dezenas) para a esquerda, porque é a que falta
subtrair.
Finalmente subtraímos 4 centenas (verde) às 8 que temos (retiramos 1 na subtração das
dezenas), ficando assim 4 esferas à direita, sendo o resultado final 4 centenas, 1 dezena e 1
unidade, ou seja, 491.
MULTIPLICAÇÃO
5
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