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de Laplace y transformadas inversas para resolver EDOs dado el lado
derecho de la ecuación y la ecuación característica de la EDO homogénea
correspondiente.
Ejemplo 3 – Considere la ecuación
donde δ(t) es la función delta de Dirac.
Usando transformadas de Laplace, podemos escribir:
' ` LAP , la calculadora produce EXP(-3*X), es decir,
Con '
Delta(X-3)
–3s
L{δ(t-3)} = e
. Con Y(s) = L{y(t)}, y L{d
h(0) y y
= h'(0), la ecuación transformada es s
1
Use la calculadora para despejar Y(s), escribiendo:
'X^2*Y-X*y0-y1+Y=EXP(-3*X)' ` 'Y' ISOL
El resultado es
'Y=(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)'.
Para resolver la EDO, y(t), usaremos la transformada inversa de Laplace,
como sigue:
ƒ ƒ
OBJ
µ
ILAP
El resultado es
Notas:
[1]. Una manera alternativa de obtener la transformada inversa de Laplace
de la expresión '(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)' está separando la
expresión en fracciones parciales, es decir,
'y0*X/(X^2+1) + y1/(X^2+1) + EXP(-3*X)/(X^2+1)',
2
2
+y = δ(t-3),
d
y/dt
2
2
L{d
y/dt
+y} = L{δ(t-3)},
2
2
L{d
y/dt
} + L{y(t)} = L{δ(t-3)}.
2
2
y/dt
} = s
Aísla el lado derecho de la última expresión
Obtiene la transformada inversa de Laplace
'y1*SIN(X)+y0*COS(X)+SIN(X-3)*Heaviside(X-3)'.
2
⋅Y(s) - s⋅y
– y
, donde y
o
1
2
⋅Y(s) – s⋅y
– y
+ Y(s) = e
o
1
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=
o
–3s
.
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